三井生命の試験問題

問１
A=\(\array{-1 & 1 \\ 0 & 1}\)であるとき、A^nを求めよ。*1

問２
a_n=4a_{n-1}-3a_{n-2}
a_0=1、a_1=4
であるとき、一般項a_nを求めよ。

問３
次の定積分を計算しなさい。
(1)\int_0^{\pi/2}\sin^3{x}\cos{x}dx
(2)\int_0^{\infty}x^2e^{-x}dx

問４
x>0であるとき、\cos{x}>1-\frac{x^2}{2}
であることを示せ。

問５
\sum_{k=1}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}であることを示せ。

問６
\sum_{k=1}^{1,000,000} \frac{1}{k}<15であることを示せ。

問７
A、B、Cの３人が、ABCABC…の順でサイコロを振り、最初に１の目を出した者を勝ちとする。Aが勝つ確率を求めよ。

問８
720について、
(1)約数の個数を求めよ。
(2)全ての約数の総和を求めよ。

問９
\int_0^1x^m(1-x)^ndx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}*2であることを示せ。
ただし、m、nは自然数である。

問10
nを自然数とするとき、次の問に答えよ。
(1)\cos^n{x}=\sum_{k=0}^n a_k \cos{kx} (a_kは有理数)と書けることを示せ。*3
(2)\cos{nx}=\sum_{k=0}^k b_k \cos^k{x}(b_kは整数)と書けることを示せ。*4


英語は、日本銀行に関する英文和訳が20点、新大統領の演説に関する英文和訳が30点

*1:actuary_mathさんからのご指摘により、「A=A=\(\array{-1 & 1 \\ 0 & 1}\)」を「A=\(\array{-1 & 1 \\ 0 & 1}\)」に修正。2010年2月4日

*2:actuary_mathさんからのご指摘により、被積分関数の指数部分がm-1、n-1だったものをm、nに修正。2010年1月15日

*3:actuary_mathさんからのご指摘により、「\cos^n{x}=\sum_{k=1}^n a_n \cos{nx} (a_nは有理数)」から「\cos^n{x}=\sum_{k=0}^n a_k \cos{kx} (a_kは有理数)」に修正 2010年2月4日

*4:actuary_mathさんからのご指摘により、「\cos{nx}=\sum_{k=1}^k b_n \cos^n{x}(b_nは整数)」から「\cos{nx}=\sum_{k=0}^k b_k \cos^k{x}(b_kは整数)] (a_kは有理数)」に修正 2010年2月4日