第一生命の試験問題 - アクチュアリー志望者のための就職活動攻略

60分
問１は必答、問２〜問４は、３題中２題を選択。

問１
(1) $I=\int_0^{\infty}e^{-x^2}dx$ を計算せよ。
(2) $f(x)=\frac{\cos{x}}{1-x}$ を $x^4$ の項までマクローリン展開せよ。ただし、マクローリン展開とは、 $x=0$ を中心にしたテイラー展開のことである。
(3) $\array{b^2+c^2 & ab & ca \\ ab & c^2+a^2 & bc \\ ca & bc & a^2+b^2}$ の行列式を計算せよ。
(4)次の微分方程式、
$\frac{d^2y}{dx^2}+6\frac{dy}{dx}+9y=0$ 、 $y(0)=1$ 、 $\frac{dy}{dx}(0)=1$
を解きなさい。

問２
$a_0=0$ 、 $a_1=1$ 、 $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ について
$\array{a_{n+1} \\ a_n}\)=A\(\array{a_{n} \\ a_{n-1}}$ とおくとき、次の問に答えよ。
ただし、 $A$ は２行２列の行列である。

(1) $A$ を求めよ。
(2)一般項 $a_n$ を求めよ。

問３
$\sum_{k=1}^nk^p$ は $n$ の $p+1$ 次の多項式であることを、 $p$ についての数学的帰納法を用いて示せ。また、 $n^{p+1}$ 、 $n^p$ の係数を求めよ。

(ヒント) $p=1$ であるとき、
$n^2-(n-1)^2=2n-1$
$(n-1)^2-(n-2)^2=2(n-1)-1$
$\dots$
$1^2-0^2=2*1-1$ *1
両辺の和を取ると
$n^2-1=2 \sum_{k=1}^n k-n$
よって、 $\sum_{k=1}^n k=\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}$ となり、題意は成立している。

問４
集合 $A=\{1,2,3,4,5\}$ 、 $B=\{6,7,8\}$ に対して、写像 $f:A \rightarrow B$ を考える。
(1) $f$ は全部で何通りあるか。
(2)全射であるような $f$ は何通りあるか。ただし、 $f$ が全射であるとは、その終域となる集合の元は何れもその写像の像として得られるようなものを言う。
(3) $f(1) \geq f(2) \geq f(3) \geq f(4) \geq f(5)$ となるようなfは何通りあるか。

*1:actuary_mathさんからのご指摘により、「 $2^2-1^2=2*1-1$ 」から「 $1^2-0^2=2*1-1$ 」に修正。2010年2月4日