第一生命の試験問題

60分
問１は必答、問２〜問４は、３題中２題を選択。

問１
(1)I=\int_0^{\infty}e^{-x^2}dxを計算せよ。
(2)f(x)=\frac{\cos{x}}{1-x}をx^4の項までマクローリン展開せよ。ただし、マクローリン展開とは、x=0を中心にしたテイラー展開のことである。
(3)\(\array{b^2+c^2 & ab & ca \\ ab & c^2+a^2 & bc \\ ca & bc & a^2+b^2}\)の行列式を計算せよ。
(4)次の微分方程式、
\frac{d^2y}{dx^2}+6\frac{dy}{dx}+9y=0、y(0)=1、\frac{dy}{dx}(0)=1
を解きなさい。


問２
a_0=0、a_1=1、a_{n+2}=a_{n+1}+a_nについて
\(\array{a_{n+1} \\ a_n}\)=A\(\array{a_{n} \\ a_{n-1}}\)とおくとき、次の問に答えよ。
ただし、Aは２行２列の行列である。

(1)Aを求めよ。
(2)一般項a_nを求めよ。


問３
\sum_{k=1}^nk^pはnのp+1次の多項式であることを、pについての数学的帰納法を用いて示せ。また、n^{p+1}、n^pの係数を求めよ。

(ヒント)p=1であるとき、
n^2-(n-1)^2=2n-1
(n-1)^2-(n-2)^2=2(n-1)-1
\dots
1^2-0^2=2*1-1*1
両辺の和を取ると
n^2-1=2 \sum_{k=1}^n k-n
よって、\sum_{k=1}^n k=\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}となり、題意は成立している。


問４
集合A=\{1,2,3,4,5\}、B=\{6,7,8\}に対して、写像f:A \rightarrow Bを考える。
(1)fは全部で何通りあるか。
(2)全射であるようなfは何通りあるか。ただし、fが全射であるとは、その終域となる集合の元は何れもその写像の像として得られるようなものを言う。
(3)f(1) \geq f(2) \geq f(3) \geq f(4) \geq f(5)となるようなfは何通りあるか。

*1:actuary_mathさんからのご指摘により、「2^2-1^2=2*1-1」から「1^2-0^2=2*1-1」に修正。2010年2月4日

三井生命の試験問題

問１
A=\(\array{-1 & 1 \\ 0 & 1}\)であるとき、A^nを求めよ。*1

問２
a_n=4a_{n-1}-3a_{n-2}
a_0=1、a_1=4
であるとき、一般項a_nを求めよ。

問３
次の定積分を計算しなさい。
(1)\int_0^{\pi/2}\sin^3{x}\cos{x}dx
(2)\int_0^{\infty}x^2e^{-x}dx

問４
x>0であるとき、\cos{x}>1-\frac{x^2}{2}
であることを示せ。

問５
\sum_{k=1}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}であることを示せ。

問６
\sum_{k=1}^{1,000,000} \frac{1}{k}<15であることを示せ。

問７
A、B、Cの３人が、ABCABC…の順でサイコロを振り、最初に１の目を出した者を勝ちとする。Aが勝つ確率を求めよ。

問８
720について、
(1)約数の個数を求めよ。
(2)全ての約数の総和を求めよ。

問９
\int_0^1x^m(1-x)^ndx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}*2であることを示せ。
ただし、m、nは自然数である。

問10
nを自然数とするとき、次の問に答えよ。
(1)\cos^n{x}=\sum_{k=0}^n a_k \cos{kx} (a_kは有理数)と書けることを示せ。*3
(2)\cos{nx}=\sum_{k=0}^k b_k \cos^k{x}(b_kは整数)と書けることを示せ。*4


英語は、日本銀行に関する英文和訳が20点、新大統領の演説に関する英文和訳が30点

*1:actuary_mathさんからのご指摘により、「A=A=\(\array{-1 & 1 \\ 0 & 1}\)」を「A=\(\array{-1 & 1 \\ 0 & 1}\)」に修正。2010年2月4日

*2:actuary_mathさんからのご指摘により、被積分関数の指数部分がm-1、n-1だったものをm、nに修正。2010年1月15日

*3:actuary_mathさんからのご指摘により、「\cos^n{x}=\sum_{k=1}^n a_n \cos{nx} (a_nは有理数)」から「\cos^n{x}=\sum_{k=0}^n a_k \cos{kx} (a_kは有理数)」に修正 2010年2月4日

*4:actuary_mathさんからのご指摘により、「\cos{nx}=\sum_{k=1}^k b_n \cos^n{x}(b_nは整数)」から「\cos{nx}=\sum_{k=0}^k b_k \cos^k{x}(b_kは整数)] (a_kは有理数)」に修正 2010年2月4日

東京海上日動あんしん生命の試験問題

大問４問　60分間(記述式)

問題１
199次方程式、x^{199} +10x-5=0の199個の解の199乗の和を求めよ。

問題２
５次多項式f(x)に対し、方程式f(x)+1=0はx=-1を三重根に持ち、方程式f(x)-1=0はx=1を三重根に持つ。このとき、f(x)を求めよ。

問題３
lmn+l+m+n=lm+mn+nl+15 \(l>m>n\)を満たす自然数l,m,nの組を求めよ。

問題４
次の微分方程式を解け。
\frac{dy}{dx}=y-y^2、y(0)=C

住友生命の試験問題

大問３問
大問１は答えのみ、大問２と大問３は記述式



問１は答えのみ×10問
(1)(2x-3y)^3を計算せよ
(2)２つのサイコロを同時に振るとき、２つの目の和が６以上となる確率を求めよ。
(3)行きは時速40km、帰りは時速60kmで往復するとき、往復の間の平均の時速を求めよ。
(4)\int 8^{2-x}dxを計算せよ。
(5) x^2+y^2 \leq 1*1、 y \geq x、y \geq -xを満たすとき、 x+2yの最大値を求めよ。
(6)次の斜線部分の面積を求めよ。
写真
(１辺３cmの正方形の、各辺を1:2に分けるところを結んでる感じ)
(7)y=x^2とy=a\(a>0\)で囲まれた部分を、y軸の周りに１回転してできる立体の体積を求めよ。
(8)階段を１歩で１段、または２段上れる人がいる。この人が10段の階段を上る上り方は何通りか。ただし、右足と左足の区別はしないものとする。
(9)45を引いても、44を足しても、平方数になるような自然数を求めよ。
(10)ある地域の天気について、晴れと雨の２通りしか無いものとする。
(i)晴れの日の次の日の天気は、2/3の確率で晴れ、1/3の確率で雨である。
(ii)雨の日の次の日には、晴れになる確率と雨になる確率は同じである。
十分長い時間が経過したとき、それぞれの天気になる確率はどうなるか。



問２　記述
Aがn枚、BがN-n枚のコインを持っています。今、AとBがゲームをし、負けた方が勝った方に１枚コインを渡します。Aがゲームに勝つ確率は p、Bがゲームに勝つ確率はq(p+q=1)です。先にN枚のコインを獲得した方の勝ちとします。Aの勝つ確率をa_nとおくとき、次の問に答えよ。
(1)a_nをa_{n+1},a_{n-1}を用いて表せ。\(1 \leq n \leq N-1 \)*2
(2)一般項a_nを求めよ。\(0 \leq n \leq N \)*3



問３　記述
次の問に、分かりやすく答えよ。(分かりにくい場合は、減点の対象となる)

A、B、C、Dの4人が100m競争をして、その結果に対し、観客１〜５は以下のように発言している。

観客１：Cは４位ではなかった
観客２：DはBには勝てなかった
観客３：AはDに負けた
観客４：AはCより速かった
観客５：BはAの次にゴールした

この中で一人だけ、嘘をついている者がいる。

嘘をついているのは、観客１〜５のいずれか答えよ。また、正しい順位を答えよ

*1:actuary_mathさんからのご指摘により、不等号の向きを修正しました。2010年1月15日

*2:actuary_mathさんからのご指摘により、不等号の向きを修正しました。2010年1月15日

*3:actuary_mathさんからのご指摘により、不等号の向きを修正しました。2010年1月17日

中央三井信託銀行の試験問題

大問９問　90分間


問題１
同じ大きさの９個の球が入っている袋がある。このうち、５個が赤球、３個が黒球、１個が白球である。この袋から、１回目に２個の球を取り出し、２回目に残り７個から３個の球を取り出す。２回目に取り出す球が全て赤球である確率を求めよ。



問題２
円周上に、任意に３点A,B,Cを取る。このとき、△ABCが鋭角三角形になる確率を求めよ。



問題３
あなたは道に迷いました。A,B,C３つの道があり、Aを選んだ場合は2時間後に出口に出れますが、Bを選んだ場合は３時間後に、Cを選んだ場合は５時間後に元の場所に戻ります。毎回ABCをそれぞれ1/3の確率で選択するとき、出口に出るまでの平均時間を求めよ。



問題４
A,Bはゲームにより、勝者が敗者に１円払うことにする。ただし、A,Bの勝つ確率は、それぞれα(≠1/2)、1-αである。最初A,B は、それぞれn円、N-n円持っていて、どちらかが破産する(所持金0円)か、目標を達成する(所持金N円)まで続けるとき、Aが破産する確率を求めよ。



問題５
0〜9までの整数から重複を許して５個取り出し積を作る。その積の１の位の数字が次のようになる確率を求めよ。
(1)1,3,7,9のいずれか
(2)2,4,6,8のいずれか



問題６
B(p,q)=\int_{0}^{1}x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx*1とおく
(1)B(3,4)を計算せよ。
(2)B(a,b)を計算せよ。ただし、a,bは自然数とする。



問題７
A,Bの２人が、A,B,B,A,A,B,B,A…の順に１つのサイコロを投げて最初に１の目を出した方を勝ちとする。Aの勝つ確率を求めよ。ただし、引き分けはなく、どちらかが勝つまでゲームを続けるものとする。



問題８
P(k)=\frac{18}{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}であるとき、E(X+1)を求めよ。ただし、kは整数である。



問題９
次の計算をせよ
(1)\int_0^{\infty}x^ne^{-x}dxただし、nは整数(自然数やったかも？)
(2)\int_0^{\infty}x^3e^{-x^2}dx
(3)\int_0^1x^3\sqrt{1-x^2}dx
(4)\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{5^n}

*1:actuary_mathさんからのご指摘により、被積分関数の指数部分が1-p、1-qだったものをp-1、q-1に修正。2010年1月15日

日本生命の試験問題

問題１　答えのみ
(1)\sqrt{(100 \times 101 \times 102 \times 103+1}＝(　ア　)である。

(2)NISSAYの各アルファベットを並べる順列は(　イ　)通りあり、辞書式配列(アルファベット順)にしたときにNISSAYは(　ウ　)番目である。

(3)各家に行ったときに、1/5の確率で傘を忘れる人がいます。この人が、Aの家、Bの家、Cの家と順番に行ったところで、傘を忘れて来たことに気づきました。Bの家に忘れてきた確率は(　エ　)である。

(4)学生が集まって、教授を招待してパーティを行うことにした。1人2300円ずつ集めると1700円足りない。そこで１人2400円ずつ集めた結果、350円より大きな剰余金が発生した。ところが当日、教授から5000円の寄付金が支払われたため、1人250円ずつ返還することができ、わずかであるが剰余金が発生した。このとき、学生数は(　オ　)人であり、パーティの費用は(　カ　)である。

(5)PQ=a、角POQ=60度であるとき、△POQの面積の最大値は(　キ　)である。

(6)I_n=\int_{(n-1) \pi}^{n \pi}e^{-x}|\sin{x}|dxとするとき、I_1＝(　キ　)であり、I_{n+1}=(　ク　)I_nである。また、\int_{0}^{\infty}e^{-x}|\sin{x}|dx=(　ケ　)である。

(7)サイコロをn回振って、出た目の積をX_nとおく。X_nが３で割り切れる確率は(　コ　)であり、この値が0.99以上となるのはn＞(　サ　)のときである。ただし、log_2=0.3010、log_3=0.4771であることを用いても良い。

(8)行列A=\(\array{3 & 1 \\ 4 & 2}\)の固有値を\lambda_1、\lambda_2とおくとき、\lambda_1+\lambda_2=(　シ　)であり、\lambda_1^3+\lambda_2^3=(　ス　)である。


問題２
２次の多項式、ax^2+bx+cに対して、次の操作１と操作２を施す

(操作１)ax^2+bx+c \rightarrow a(x-1)^2+b(x-1)+c
(操作２)ax^2+bx+c \rightarrow cx^2+bx+a

このとき、以下の問に答えよ。
(1)ax^2+bx+c=0の２つの解を\alpha、\betaとおくとき、 判別式D=b^2-4ac=a^2(\alpha-\beta)^2が成立することを示せ。

(2)x^2+x+1に対して、操作(1)、(2)をあわせて何回か施したところ、kx^2-61x+7になった。kの値を求めよ。


問題３
n人でじゃんけんを行い、各人はグー・チョキ・パーをそれぞれ1/3の確率で出すものとする。
(1)n人で1回じゃんけんを行うとき、k人が勝つ確率を求めよ。
(2)n人で1回じゃんけんを行うとき、アイコ以外になる確率を求めよ。
(3)n人でアイコ以外が出るまでじゃんけんを行う。アイコ以外が出るまでにじゃんけんを行う回数の期待値を求めよ。