日本生命の試験問題

問題１　答えのみ
(1)\sqrt{(100 \times 101 \times 102 \times 103+1}＝(　ア　)である。

(2)NISSAYの各アルファベットを並べる順列は(　イ　)通りあり、辞書式配列(アルファベット順)にしたときにNISSAYは(　ウ　)番目である。

(3)各家に行ったときに、1/5の確率で傘を忘れる人がいます。この人が、Aの家、Bの家、Cの家と順番に行ったところで、傘を忘れて来たことに気づきました。Bの家に忘れてきた確率は(　エ　)である。

(4)学生が集まって、教授を招待してパーティを行うことにした。1人2300円ずつ集めると1700円足りない。そこで１人2400円ずつ集めた結果、350円より大きな剰余金が発生した。ところが当日、教授から5000円の寄付金が支払われたため、1人250円ずつ返還することができ、わずかであるが剰余金が発生した。このとき、学生数は(　オ　)人であり、パーティの費用は(　カ　)である。

(5)PQ=a、角POQ=60度であるとき、△POQの面積の最大値は(　キ　)である。

(6)I_n=\int_{(n-1) \pi}^{n \pi}e^{-x}|\sin{x}|dxとするとき、I_1＝(　キ　)であり、I_{n+1}=(　ク　)I_nである。また、\int_{0}^{\infty}e^{-x}|\sin{x}|dx=(　ケ　)である。

(7)サイコロをn回振って、出た目の積をX_nとおく。X_nが３で割り切れる確率は(　コ　)であり、この値が0.99以上となるのはn＞(　サ　)のときである。ただし、log_2=0.3010、log_3=0.4771であることを用いても良い。

(8)行列A=\(\array{3 & 1 \\ 4 & 2}\)の固有値を\lambda_1、\lambda_2とおくとき、\lambda_1+\lambda_2=(　シ　)であり、\lambda_1^3+\lambda_2^3=(　ス　)である。


問題２
２次の多項式、ax^2+bx+cに対して、次の操作１と操作２を施す

(操作１)ax^2+bx+c \rightarrow a(x-1)^2+b(x-1)+c
(操作２)ax^2+bx+c \rightarrow cx^2+bx+a

このとき、以下の問に答えよ。
(1)ax^2+bx+c=0の２つの解を\alpha、\betaとおくとき、 判別式D=b^2-4ac=a^2(\alpha-\beta)^2が成立することを示せ。

(2)x^2+x+1に対して、操作(1)、(2)をあわせて何回か施したところ、kx^2-61x+7になった。kの値を求めよ。


問題３
n人でじゃんけんを行い、各人はグー・チョキ・パーをそれぞれ1/3の確率で出すものとする。
(1)n人で1回じゃんけんを行うとき、k人が勝つ確率を求めよ。
(2)n人で1回じゃんけんを行うとき、アイコ以外になる確率を求めよ。
(3)n人でアイコ以外が出るまでじゃんけんを行う。アイコ以外が出るまでにじゃんけんを行う回数の期待値を求めよ。